Exercise VI: Revisiting Linear and Logistic Regression¶

In the following exercise we will follow an adapted version of Prof. Tal Yarkoni’s workshop in the NeuroHackademy 2020 (available here).

Our dataset includes features extracted from the Autism Brain Imaging Data Exchange II (ABIDE II) project using FreeSurfer (available here) ^[3], as well as some demographic and phenotypic information about the subjects.

To review the methods discussed in the course so far, we will try and use FreeSurfer’s estimated brain features to predict age and Autistic Spectrum Disorder (ASD) diagnosis as a review for both linear and logistic regression (respectively).

Set up¶

To read a .tsv file we have to specify delimiter="\t":

import pandas as pd

URL = "https://raw.githubusercontent.com/neurohackademy/nh2020-curriculum/master/tu-machine-learning-yarkoni/data/abide2.tsv"
data = pd.read_csv(URL, delimiter="\t")

Never hurts to clean up a little:

IGNORED_COLUMNS = ["age_resid", "sex"]
REPLACE_DICT = {"group": {1: "ASD", 2: "Control"}}

data.drop(columns=IGNORED_COLUMNS, inplace=True)
data.replace(REPLACE_DICT, inplace=True)

General Inspection¶

GROUP_COLORS = {"ASD": "purple", "Control": "orange"}

def highlight_group(value: str) -> str:
    try:
        color = GROUP_COLORS[value]        
    except KeyError:
        pass
    else:
        return f"color: {color}"

numeric_data = data.select_dtypes(float)
data.sample(25).style.applymap(highlight_group, subset=["group"]).background_gradient(subset=numeric_data.columns)

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03.110000	351.790000	255.170000	271.590000	291.910000	187.350000	544.470000	261.110000	225.300000	445.090000	417.860000	231.320000	380.980000	601.350000	706.510000	593.900000	393.720000	306.810000	525.900000	656.310000	690.770000	346.630000	471.530000	230.070000	3670.200000	316.130000	291.210000	2725.700000	1957.100000	1350.500000	388.530000	1844.700000	1669.700000	706.260000	338.850000	398.890000	791.940000	568.760000	770.990000	322.750000	588.990000	930.260000	372.690000	242.960000	209.950000	360.040000	234.200000	171.250000	385.700000	323.160000	824.610000	440.880000	478.460000	627.260000	506.650000	404.950000	251.150000	282.440000	525.230000	321.510000	759.430000	900.110000	676.870000	608.700000	353.000000	712.280000	561.060000	559.810000	806.090000	346.260000	570.390000	257.140000	309.720000	642.800000	1369.000000	1737.900000	949.780000	488.660000	695.300000	378.740000	342.850000	255.940000	205.730000	498.180000	378.380000	548.420000	710.980000	413.130000	392.720000	272.220000	669.410000	896.130000	1199.200000	779.700000	695.280000	571.160000	778.540000	493.560000	588.510000	473.550000	970.430000	707.230000	228.440000	166.310000	547.970000	788.840000	741.470000	1118.300000	626.660000	1627.700000	756.400000	553.380000	512.530000	635.540000	1039.500000	418.060000	888.110000	493.810000	145.240000	951.350000	336.670000	305.080000	431.760000	461.660000	253.390000	198.590000	155.700000	368.150000	399.320000	480.760000	327.560000	392.190000	326.430000	508.310000	348.820000	309.700000	170.110000	160.250000	173.900000	596.360000	709.010000	211.630000	294.400000	355.040000	400.120000	551.430000	267.240000	345.050000	654.420000	333.020000	364.710000	529.190000	742.180000	609.690000	1411.100000	517.370000	999.830000	1246.500000	989.070000	756.430000	736.960000	859.200000	963.600000	660.530000	350.030000	410.460000	640.550000	465.400000	670.330000	484.010000	430.300000	910.190000	1267.100000	1284.200000	1006.900000	150.660000	387.530000	366.670000	293.910000	175.680000	435.720000	381.230000	276.080000	354.770000	514.840000	344.290000	600.420000	249.500000	318.970000	567.600000	401.830000	193.150000	504.640000	803.190000	572.340000	470.330000	260.840000	294.640000	466.870000	464.500000	529.750000	380.540000	426.410000	297.800000	2.211000	2.420000	2.907000	2.489000	2.520000	2.681000	2.855000	2.614000	1.826000	2.612000	2.642000	2.766000	2.354000	3.015000	2.604000	2.472000	2.779000	3.194000	2.685000	3.001000	3.186000	2.950000	2.543000	2.800000	2.868000	3.254000	2.891000	3.241000	2.795000	3.399000	3.422000	3.261000	3.805000	3.722000	3.200000	2.705000	2.771000	2.831000	2.251000	2.929000	2.739000	2.595000	3.116000	2.972000	2.740000	2.338000	2.620000	2.074000	2.611000	2.345000	2.691000	2.011000	1.993000	2.853000	2.638000	3.423000	3.379000	2.470000	3.182000	2.815000	3.477000	3.120000	3.190000	2.444000	2.499000	2.826000	2.630000	2.170000	3.239000	2.859000	2.511000	2.458000	2.361000	2.661000	3.094000	3.044000	2.657000	2.653000	2.225000	2.435000	2.169000	2.398000	2.422000	2.228000	2.300000	2.147000	2.883000	2.813000	2.482000	2.323000	2.783000	3.008000	2.198000	3.287000	2.529000	2.396000	2.782000	2.805000	3.257000	3.248000	3.033000	3.416000	3.062000	2.747000	2.736000	3.238000	3.454000	3.143000	3.278000	3.149000	3.066000	3.882000	3.373000	3.144000	3.753000	2.201000	2.427000	3.125000	2.620000	2.369000	2.555000	3.096000	4.127000	2.616000	3.359000	3.396000	3.006000	3.029000	2.894000	2.748000	3.674000	3.056000	3.161000	2.778000	3.150000	2.879000	3.043000	3.180000	2.947000	2.578000	2.574000	2.940000	3.051000	2.396000	2.525000	2.648000	3.015000	2.713000	2.801000	2.914000	3.114000	3.319000	2.735000	2.591000	3.038000	2.761000	2.795000	2.527000	3.114000	2.333000	2.982000	3.278000	3.263000	3.197000	2.720000	2.775000	3.218000	2.780000	2.729000	2.252000	2.264000	3.187000	3.074000	2.402000	3.441000	2.719000	3.515000	3.232000	3.229000	3.274000	2.236000	2.378000	2.088000	2.152000	2.185000	2.432000	3.349000	2.693000	1.829000	2.470000	2.648000	2.914000	2.047000	2.858000	2.613000	2.108000	2.155000	2.824000	2.704000	2.502000	3.057000	3.319000	2.845000	2.974000	3.160000	3.218000	2.437000	2.789000	2.256000	2.458000	2.559000	3.545000	3.036000	3.051000	3.068000	2.639000	2.667000	2.624000	2.309000	2.838000	2.919000	2.094000	2.639000	2.709000	2.559000	2.940000	2.296000	2.500000	2.478000	2.397000	2.521000	2.361000	1.843000	2.940000	2.476000	3.500000	2.941000	2.322000	3.073000	3.131000	3.019000	3.280000	3.188000	2.979000	2.545000	2.739000	2.810000	2.602000	3.479000	3.017000	2.767000	2.863000	2.775000	3.211000	3.209000	3.146000	2.873000	2.984000	2.626000	2.544000	2.869000	2.985000	2.853000	2.648000	2.981000	2.921000	2.760000	2.515000	2.361000	2.711000	2.840000	3.106000	2.287000	2.908000	2.261000	2.514000	3.327000	2.634000	3.583000	3.366000	3.300000	3.340000	3.742000	2.743000	2.545000	3.078000	3.555000	3.376000	3.401000	2.612000	3.394000	3.691000	3.473000	3.199000	3.438000	2.709000	2.573000	2.899000	1.857000	2.395000	2.508000	3.472000	4.101000	3.056000	3.468000	3.595000	2.877000	3.125000	2.870000	2.913000	3.561000	3.229000	3.132000	3.258000	3.131000	3.040000	3.111000	2.858000	2.651000	2.793000	2.391000	2.477000	2.771000	2.200000	2.590000	2.446000	3.413000	2.824000	2.808000	2.775000	2.831000	2.302000	2.752000	2.543000	2.758000	2.858000	2.812000	2.339000	2.728000	2.749000	2.580000	3.020000	3.390000	3.024000	3.329000	2.599000	3.415000	3.210000	3.085000	2.838000	2.847000	3.652000	3.381000	2.788000	3.594000	2.924000	3.485000	3.287000	2.882000	3.522000

First thing to note is that we have 1004 observations (subjects) and 1,444 features.

There are 1,440 features representing four anatomical brain features estimated by FreeSurfer:

Surface Area (fsArea)
Volume (fsVol)
Cortical Thickness (fsCT)
Local Gyrification Index (fsLGI)

over 360 brain regions of interest (ROIs) as defined by the Human Connectome Project Multi-Modal Parcellation atlas (HCP-MMP1), as well as:

site: A code representing the site at which the data was acquired.
subject: Subject ID.
age: Age in years.
group: ASD diagnosis (1=autism, 2=control).

data.info()

<class 'pandas.core.frame.DataFrame'>
RangeIndex: 1004 entries, 0 to 1003
Columns: 1444 entries, site to fsCT_R_p24_ROI
dtypes: float64(1441), int64(1), object(2)
memory usage: 11.1+ MB

As expected, all the brain features and the recorded age are of type float, subject is an int, and site and group are categorical (object).

Feature Matrix¶

Our feature matrix is the same in both regression examples and composed exclusively of FreeSurfer’s estimation results of the 360 HCP-MMP1 ROIs:

X = data.filter(regex="^fs").copy()  # Select columns starting with "fs"
X

	fsArea_L_V1_ROI	fsArea_L_MST_ROI	fsArea_L_V6_ROI	fsArea_L_V2_ROI	fsArea_L_V3_ROI	fsArea_L_V4_ROI	fsArea_L_V8_ROI	fsArea_L_4_ROI	fsArea_L_3b_ROI	fsArea_L_FEF_ROI	...	fsCT_R_p47r_ROI	fsCT_R_TGv_ROI	fsCT_R_MBelt_ROI	fsCT_R_LBelt_ROI	fsCT_R_A4_ROI	fsCT_R_STSva_ROI	fsCT_R_TE1m_ROI	fsCT_R_PI_ROI	fsCT_R_a32pr_ROI	fsCT_R_p24_ROI
0	2750.0	306.0	354.0	2123.0	1451.0	1128.0	269.0	1751.0	1338.0	632.0	...	3.362	2.827	2.777	2.526	3.202	3.024	3.354	2.629	2.699	3.179
1	2836.0	186.0	354.0	2261.0	1584.0	1241.0	259.0	1521.0	1105.0	302.0	...	2.809	3.539	2.944	2.769	3.530	3.079	3.282	2.670	2.746	3.324
2	3394.0	223.0	373.0	2827.0	1816.0	1299.0	221.0	1657.0	1374.0	456.0	...	2.435	3.321	2.799	2.388	3.148	3.125	3.116	2.891	2.940	3.232
3	3382.0	266.0	422.0	2686.0	1893.0	1359.0	234.0	1889.0	1545.0	407.0	...	3.349	3.344	2.694	3.030	3.258	2.774	3.383	2.696	3.014	3.264
4	3080.0	161.0	346.0	2105.0	1307.0	1004.0	254.0	1334.0	985.0	315.0	...	2.428	2.940	2.809	2.607	3.430	2.752	2.645	3.111	3.219	4.128
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
999	3321.0	290.0	381.0	2802.0	1827.0	1314.0	184.0	1992.0	1668.0	579.0	...	2.553	3.502	2.955	2.873	3.074	2.849	2.941	2.863	2.854	3.265
1000	2860.0	162.0	456.0	2460.0	1718.0	1225.0	240.0	2459.0	1721.0	574.0	...	2.437	3.658	2.537	2.482	3.425	2.819	3.304	2.688	3.200	3.086
1001	3377.0	177.0	497.0	2810.0	1866.0	1343.0	254.0	1758.0	1318.0	436.0	...	2.770	3.422	2.925	3.028	3.285	2.717	3.073	2.899	3.029	3.292
1002	3322.0	297.0	426.0	2640.0	1726.0	1242.0	318.0	1719.0	1310.0	444.0	...	2.579	3.328	2.998	3.062	3.601	3.049	2.901	2.704	3.076	3.114
1003	2649.0	140.0	307.0	2359.0	1446.0	1003.0	198.0	1807.0	1325.0	395.0	...	3.287	3.170	2.494	2.725	3.477	2.850	3.695	2.637	3.263	2.981

1004 rows × 1440 columns

Scaling¶

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

scaler = StandardScaler()
X.loc[:, :] = scaler.fit_transform(X.loc[:, :])
X

	fsArea_L_V1_ROI	fsArea_L_MST_ROI	fsArea_L_V6_ROI	fsArea_L_V2_ROI	fsArea_L_V3_ROI	fsArea_L_V4_ROI	fsArea_L_V8_ROI	fsArea_L_4_ROI	fsArea_L_3b_ROI	fsArea_L_FEF_ROI	...	fsCT_R_p47r_ROI	fsCT_R_TGv_ROI	fsCT_R_MBelt_ROI	fsCT_R_LBelt_ROI	fsCT_R_A4_ROI	fsCT_R_STSva_ROI	fsCT_R_TE1m_ROI	fsCT_R_PI_ROI	fsCT_R_a32pr_ROI	fsCT_R_p24_ROI
0	-0.829942	1.164264	-0.617506	-1.429303	-1.262839	-0.828693	0.112244	-0.246071	-0.313098	1.956778	...	2.364904	-0.913419	0.315561	-0.580204	0.089160	0.650036	0.806525	-0.195324	-0.480189	-0.055639
1	-0.656456	-0.587979	-0.617506	-1.027515	-0.696653	-0.278204	-0.058090	-1.177284	-1.504883	-1.282974	...	0.768075	0.599082	0.842638	0.139142	1.103577	0.816385	0.614441	-0.068156	-0.346434	0.312323
2	0.469190	-0.047704	-0.334418	0.620402	0.290980	0.004348	-0.705356	-0.626653	-0.128959	0.228910	...	-0.311878	0.135985	0.384997	-0.988722	-0.077848	0.955513	0.171579	0.617309	0.205661	0.078857
3	0.444982	0.580183	0.395648	0.209878	0.618772	0.296643	-0.483923	0.312657	0.745699	-0.252144	...	2.327366	0.184844	0.053601	0.911773	0.262353	-0.106096	0.883893	0.012487	0.416254	0.160063
4	-0.164238	-0.953029	-0.736700	-1.481711	-1.875853	-1.432770	-0.143256	-1.934400	-2.118678	-1.155347	...	-0.332091	-0.673373	0.416558	-0.340422	0.794304	-0.172636	-1.084975	1.299673	0.999654	2.352611
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
999	0.321928	0.930632	-0.215224	0.547614	0.337807	0.077421	-1.335590	0.729679	1.374839	1.436454	...	0.028856	0.520483	0.877356	0.447010	-0.306711	0.120743	-0.295293	0.530463	-0.039082	0.162601
1000	-0.608041	-0.938427	0.902225	-0.448124	-0.126210	-0.356150	-0.381723	2.620446	1.645932	1.387367	...	-0.306103	0.851874	-0.441914	-0.710456	0.778840	0.030007	0.673133	-0.012326	0.945582	-0.291643
1001	0.434896	-0.719397	1.513097	0.570906	0.503831	0.218697	-0.143256	-0.217729	-0.415397	0.032562	...	0.655459	0.350539	0.782672	0.905852	0.345857	-0.278495	0.056862	0.642123	0.458942	0.231118
1002	0.323945	1.032846	0.455245	0.075949	-0.092154	-0.273333	0.946877	-0.375631	-0.456317	0.111101	...	0.103933	0.150855	1.013071	1.006501	1.323162	0.725649	-0.402007	0.037300	0.592697	-0.220588
1003	-1.033688	-1.259672	-1.317774	-0.742186	-1.284125	-1.437641	-1.097123	-0.019340	-0.379592	-0.369953	...	2.148336	-0.184784	-0.577629	0.008890	0.939662	0.123768	1.716259	-0.170511	1.124871	-0.558098

1004 rows × 1440 columns

Target Variables¶

We will create two vectors for our two target variables, age and asd_diagnosis:

age = data["age"].copy()
asd_diagnosis = data["group"] == "ASD"

Scaling¶

age = scaler.fit_transform(age.values.reshape(-1, 1)).ravel()

Train/Test Split¶

This time, we will put aside 104 observations which will be used as a test dataset after training the model. In addition, 5 cross-validation groups (180 observations in each) will be used to estimate the model with the best performance.

from sklearn.model_selection import train_test_split

TRAIN_SIZE = 900

X_train, X_test, age_train, age_test, asd_diagnosis_train, asd_diagnosis_test = train_test_split(
    X, age, asd_diagnosis, train_size=TRAIN_SIZE, random_state=0)

Predicting Age¶

Model Creation¶

We will use sklearn’s Lasso estimator along with the GridSearchCV class to fine-tune regularization strength by comparing cross-validated models:

import numpy as np

from sklearn.linear_model import Lasso
from sklearn.model_selection import GridSearchCV

# This is the base estimator we will use with varying parameter
# values, that will be determined by the parameter grid. 
linear_estimator = Lasso(max_iter=1_000_000)

# Model Configuration
#####################

# Parameter grid of regularization strengths.
ALPHAS = np.logspace(start=-3, stop=0, num=50, endpoint=True)
PARAM_GRID = {"alpha": ALPHAS}


# Search configuration
######################

N_CROSS_VALIDATIONS = 5
# Calculate both R^2 and the nagtive MSE in each iteration of
# the cross-validation.
SCORING = ["r2", "neg_mean_squared_error"]
# Refit the estimator on the whole dataset with the parameter
# setting that has the best cross-validated negative MSE score.
SCORER = "neg_mean_squared_error"
SEARCH_CONFIGURATION = {
    "estimator": linear_estimator,
    "param_grid": PARAM_GRID,
    "scoring": SCORING,
    "refit": SCORER,
    "cv": N_CROSS_VALIDATIONS,
    "n_jobs": 8
}

# GridSearchCV instantiation
linear_model_searcher = GridSearchCV(**SEARCH_CONFIGURATION)

Finally, we are ready to fit our model:

_ = linear_model_searcher.fit(X_train, age_train)

Model Application¶

predicted_ages = linear_model_searcher.predict(X_test)

Model Evaluation¶

To get the parameters (of the search grid, in our case just \(\alpha\) values) of the chosen model:

best_alpha = linear_model_searcher.best_params_["alpha"]
best_alpha

0.016768329368110083

Or, retrieve a report of each iteration over the parameter grid:

linear_search_results = pd.DataFrame(linear_model_searcher.cv_results_)
linear_search_results.head()

	mean_fit_time	std_fit_time	mean_score_time	std_score_time	param_alpha	params	split0_test_r2	split1_test_r2	split2_test_r2	split3_test_r2	...	std_test_r2	rank_test_r2	split0_test_neg_mean_squared_error	split1_test_neg_mean_squared_error	split2_test_neg_mean_squared_error	split3_test_neg_mean_squared_error	split4_test_neg_mean_squared_error	mean_test_neg_mean_squared_error	std_test_neg_mean_squared_error	rank_test_neg_mean_squared_error
0	137.620887	86.901996	0.047283	0.010604	0.001	{'alpha': 0.001}	0.104771	0.319438	0.340513	0.228085	...	0.103020	42	-0.865936	-0.654043	-0.702719	-0.737169	-0.590934	-0.710160	0.092103	42
1	128.417924	55.918203	0.052538	0.003842	0.001151	{'alpha': 0.0011513953993264468}	0.166932	0.349092	0.384072	0.270122	...	0.093244	41	-0.805809	-0.625544	-0.656304	-0.697025	-0.559378	-0.668812	0.081937	41
2	122.679357	54.596348	0.052780	0.006097	0.001326	{'alpha': 0.0013257113655901094}	0.224170	0.381554	0.427705	0.310049	...	0.085396	39	-0.750444	-0.594347	-0.609811	-0.658895	-0.529737	-0.628647	0.073572	39
3	93.127662	44.336050	0.046658	0.006019	0.001526	{'alpha': 0.0015264179671752333}	0.274601	0.419794	0.468977	0.348449	...	0.080323	37	-0.701663	-0.557598	-0.565833	-0.622224	-0.499099	-0.589283	0.068413	37
4	95.645421	50.786342	0.054384	0.005892	0.001758	{'alpha': 0.0017575106248547913}	0.319358	0.454740	0.507374	0.384689	...	0.077871	35	-0.658370	-0.524013	-0.524919	-0.587615	-0.463891	-0.551762	0.066125	35

5 rows × 22 columns

Score¶

To get the best score (the score of the chosen model):

linear_model_searcher.best_score_

-0.30833618218727

Since we’ve specified 'neg_mean_squared_error' as the refit parameter, the retrieved score indicates the maximal 'neg_mean_squared_error', or minimal \(MSE\) of the chosen model.

Other collected scores (such as \(R^2\), in our case) are available in the cv_results_ dictionary, as demonstrated above.

Model Score by \(\alpha\)¶

import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 6))
ax.set_title(r"Test Scores Across Folds by $\alpha$")

#######
# R^2 #
#######

# Plot mean r2 score
ax.semilogx("param_alpha",
            "mean_test_r2",
            data=linear_search_results,
            label=r"$R^2$",
            color="orange")

# Plot r2 STD across folds
r2_mean = linear_search_results["mean_test_r2"]
r2_std = linear_search_results["std_test_r2"]
r2_lower_limit = r2_mean - r2_std
r2_upper_limit = r2_mean + r2_std
ax.fill_between(ALPHAS,
                r2_lower_limit,
                r2_upper_limit,
                color="brown",
                alpha=0.1)

ax.set_xlabel(r"$\alpha$")
ax.set_ylabel(r"$R^2$")

#######
# MSE #
#######

# Convert negative MSE to MSE
mse_mean = -linear_search_results["mean_test_neg_mean_squared_error"]

# Created another Axis instance with a shared X-axis
mse_ax = ax.twinx()

# Plot mean MSE score
mse_ax.semilogx(ALPHAS, mse_mean, label="MSE", color="blue")

# Plot MSE STD across folds
mse_std = linear_search_results["std_test_neg_mean_squared_error"]
mse_lower_limit = mse_mean - mse_std
mse_upper_limit = mse_mean + mse_std
mse_ax.fill_between(ALPHAS,
                    mse_lower_limit,
                    mse_upper_limit,
                    color="black",
                    alpha=0.1)

mse_ax.set_ylabel("$MSE$")

#########
# alpha #
#########

# Chosen alpha
ax.axvline(best_alpha, linestyle="--", color="black", label=r"Chosen $\alpha$")

# Add legend
_ = fig.legend(loc="center", bbox_to_anchor=(1, 0.82))

Predicted Values¶

Visualize predicted values against real values in the test dataset:

import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))
ax.scatter(age_test, predicted_ages, color="black", s=8)
ax.plot(age_test, age_test, color="red")
ax.set_xlabel("Real Values")
_ = ax.set_ylabel("Predicted Values")

Test \(R^2\)¶

from sklearn.metrics import r2_score

r2_score(age_test, predicted_ages)

0.6892322516340397

Test MSE (Mean Squared Prediction Error)¶

from sklearn.metrics import mean_squared_error

mean_squared_error(age_test, predicted_ages)

0.343520441764882

Coefficients¶

To retrieve the chosen model’s coefficients:

coefficients = linear_model_searcher.best_estimator_.coef_
coefficients

array([-0., -0.,  0., ..., -0., -0., -0.])

n_coefficients = len(coefficients)
n_selected_coefficients = (coefficients != 0).sum()
n_removed = n_coefficients - n_selected_coefficients

print(
    f"{n_selected_coefficients}/{n_coefficients} features selected ({n_removed} removed)"
)

176/1440 features selected (1264 removed)

The GridSearchCV class does not collect all of the coefficients estimated by the generated models. To be able to visualize these changes over our chosen range of regularization strength values (\(\alpha\)) we would have to manually fit these models and “collect” the coefficient values.

from sklearn.linear_model import LassoCV

lasso_model = LassoCV(max_iter=1_000_000, cv=N_CROSS_VALIDATIONS)
lasso_coefficient_values = []

for alpha in ALPHAS:
    lasso_model.set_params(alphas=[alpha])
    lasso_model.fit(X_train, age_train)
    lasso_coefficient_values.append(lasso_model.coef_)

lasso_coefficient_values = np.array(lasso_coefficient_values)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(15, 10))

ax.set_title(r"Lasso: Coefficient Values by $\alpha$")

# Coefficient values by alpha
ax.semilogx(ALPHAS, lasso_coefficient_values, alpha=0.3)
ax.set_xlabel(r"$\alpha$")
ax.set_ylabel("Coefficient Values")

# Number of selected features
n_selected_features = (lasso_coefficient_values != 0).sum(axis=1)
n_features_ax = ax.twinx()
n_features_ax.semilogx(ALPHAS,
                       n_selected_features,
                       color="red",
                       linewidth=2,
                       label="# Selected Features")
n_features_ax.set_ylabel("Number of Selected Features")

# Chosen alpha
ax.axvline(best_alpha, linestyle="--", color="black", label=r"Chosen $\alpha$")

_ = fig.legend(loc="center", bbox_to_anchor=(0.825, 0.84))

Let’s create a more convenient table to display the estimated coefficient values:

MEASUREMENT_DICT = {
    "fsArea": "Surface Area",
    "fsCT": "Cortical Thinkness",
    "fsVol": "Cortical Volume",
    "fsLGI": "Local Gyrification Index"
}
HEMISPHERE_DICT = {"L": "Left", "R": "Right"}
REGION_IDS = range(1, 181)
FEATURE_INDEX = pd.MultiIndex.from_product(
    [HEMISPHERE_DICT.values(), REGION_IDS,
     MEASUREMENT_DICT.values()],
    names=["Hemisphere", "Region ID", "Measurement"])
COLUMN_NAMES = ["Identifier", "Coefficient Value"]


def parse_coefficient_values(X: pd.DataFrame,
                             coefficients: np.ndarray) -> dict:
    feature_info = pd.DataFrame(index=FEATURE_INDEX, columns=COLUMN_NAMES)
    for i, column_name in enumerate(X.columns):
        measurement, hemisphere, identifier, _ = column_name.split("_")
        measurement = MEASUREMENT_DICT.get(measurement)
        hemisphere = HEMISPHERE_DICT.get(hemisphere)
        region_id = i % 180 + 1
        feature_info.loc[(hemisphere, region_id,
                          measurement), :] = identifier, coefficients[i]
    return feature_info


coefficient_values = parse_coefficient_values(X, coefficients)
coefficient_values[coefficient_values["Coefficient Value"] != 0]

			Identifier	Coefficient Value
Hemisphere	Region ID	Measurement
Left	6	Cortical Thinkness	V4	0.00831
	7	Cortical Thinkness	V8	-0.004232
	7	Cortical Volume	V8	-0.010652
	8	Surface Area	4	0.036308
	8	Local Gyrification Index	4	0.025452
...	...	...	...	...
Right	172	Cortical Thinkness	TGv	0.083275
	173	Cortical Thinkness	MBelt	-0.066683
	173	Cortical Volume	MBelt	-0.052779
	174	Cortical Thinkness	LBelt	0.031185
	176	Cortical Volume	STSva	-0.031001

176 rows × 2 columns

Now we can easily query our calculated coefficients. E.g. to display the features with the largest estimated coefficient values:

coefficient_values.sort_values("Coefficient Value", ascending=False)

			Identifier	Coefficient Value
Hemisphere	Region ID	Measurement
Left	163	Cortical Thinkness	VVC	0.113866
Right	172	Cortical Thinkness	TGv	0.083275
Left	120	Local Gyrification Index	H	0.070769
Left	136	Cortical Thinkness	TE2p	0.063445
Right	103	Local Gyrification Index	52	0.057894
	...	...	...	...
	173	Cortical Volume	MBelt	-0.052779
	173	Cortical Thinkness	MBelt	-0.066683
	63	Cortical Volume	8BM	-0.0704
	52	Cortical Thinkness	2	-0.076195
	168	Cortical Thinkness	Ig	-0.086763

1440 rows × 2 columns

Or even better, visualize each measurement’s coefficient values in their respective ROIs using nilearn and nibabel:

import nibabel as nib

from nilearn import datasets
from nilearn import plotting
from nilearn import surface
from nilearn.image import new_img_like

HCP_NIFTI_PATH = "HCP-MMP1_on_MNI152_ICBM2009a_nlin.nii.gz"
HCP_IMAGE = nib.load(HCP_NIFTI_PATH)
HCP_DATA = np.round(HCP_IMAGE.get_fdata())


def plot_coefficient_values(coefficient_values: pd.DataFrame,
                            measurement: str) -> None:
    """
    Plots coefficient estimation results using a "glass brain" plot.
    
    Parameters
    ----------
    coefficient_values : pd.DataFrame
        Formatted dataframe containing coefficient values indexed by
        (Hemisphere, Region ID, Measurement)
    measurement: str
        String identifier for the desired type of measurement
    """

    # Create a copy of the HCP-MMP1 atlas array
    template = HCP_DATA.copy()

    # Replace region indices in the template with their matching coefficient values
    for hemisphere in HEMISPHERE_DICT.values():
        # Query appropriate rows
        selection = coefficient_values.xs((hemisphere, measurement),
                                          level=("Hemisphere", "Measurement"))
        # Extract an array of coefficient values
        values = selection["Coefficient Value"].values
        # Replace region indices with values
        for region_id in REGION_IDS:
            template_id = region_id if hemisphere == "Left" else region_id + 180
            template[template == template_id] = values[region_id - 1]

    # Create a `nibabel.nifti1.Nifti1Image` instance for `plot_glass_brain`
    coefficients_nifti = new_img_like(HCP_IMAGE, template, HCP_IMAGE.affine)

    _ = plotting.plot_glass_brain(coefficients_nifti,
                                  display_mode='ortho',
                                  colorbar=True,
                                  title=measurement)


for measurement in MEASUREMENT_DICT.values():
    plot_coefficient_values(coefficient_values, measurement)

/opt/hostedtoolcache/Python/3.7.12/x64/lib/python3.7/site-packages/nilearn/datasets/__init__.py:96: FutureWarning: Fetchers from the nilearn.datasets module will be updated in version 0.9 to return python strings instead of bytes and Pandas dataframes instead of Numpy arrays.
  "Numpy arrays.", FutureWarning)

Predicting ASD Diagnosis¶

We’ll use sklearn’s LogisticRegressionCV to select a model predicting ASD diagnosis using the provided features.

LogisticRegressionCV implements an \(\ell_2\) (i.e. “ridge”) penalty by default and allows us to easily hypertune our model using a grid of regularization strength values.

Model Creation¶

from sklearn.linear_model import LogisticRegressionCV

# The LogisticRegression class uses inverse regularization strength values
Cs = 1 / ALPHAS

logistic_model = LogisticRegressionCV(Cs=Cs,
                                      cv=N_CROSS_VALIDATIONS,
                                      scoring="roc_auc",
                                      max_iter=10_000,
                                      random_state=0)
_ = logistic_model.fit(X_train, asd_diagnosis_train)

Model Application¶

predicted_asd_diagnosis = logistic_model.predict(X_test)

Model Evaluation¶

To simply report the selected model’s regularization strength and score:

selected_alpha = 1 / logistic_model.C_[0]
score = logistic_model.score(X_test, asd_diagnosis_test)

print("Selected regularization strength:".ljust(40), f"{selected_alpha:.4f}")
print(f"Score ({logistic_model.scoring}):".ljust(40), f"{score:.4f}")

Selected regularization strength:        0.7543
Score (roc_auc):                         0.6023

Confusion Matrix¶

from sklearn.metrics import plot_confusion_matrix

disp = plot_confusion_matrix(logistic_model,
                             X_test,
                             asd_diagnosis_test,
                             cmap=plt.cm.Greens,
                             normalize="true")
_ = disp.ax_.set_title(f"Confusion Matrix")

/opt/hostedtoolcache/Python/3.7.12/x64/lib/python3.7/site-packages/sklearn/utils/deprecation.py:87: FutureWarning: Function plot_confusion_matrix is deprecated; Function `plot_confusion_matrix` is deprecated in 1.0 and will be removed in 1.2. Use one of the class methods: ConfusionMatrixDisplay.from_predictions or ConfusionMatrixDisplay.from_estimator.
  warnings.warn(msg, category=FutureWarning)

Classification Report¶

from sklearn.metrics import classification_report

report = classification_report(asd_diagnosis_test, predicted_asd_diagnosis)
print(report)

              precision    recall  f1-score   support

       False       0.67      0.67      0.67        58
        True       0.59      0.59      0.59        46

    accuracy                           0.63       104
   macro avg       0.63      0.63      0.63       104
weighted avg       0.63      0.63      0.63       104

ROC-AUC Curve¶

from sklearn.metrics import auc, plot_roc_curve
from sklearn.model_selection import StratifiedKFold
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# Recreate the chosen model's fitting to reproduce ROC curves
# across folds
classifier = LogisticRegression(C=logistic_model.C_[0],
                                max_iter=10_000,
                                random_state=0)
cv = StratifiedKFold(n_splits=N_CROSS_VALIDATIONS,
                     shuffle=True,
                     random_state=0)
cv_splits = cv.split(X_train, asd_diagnosis_train)

# Create a figure
roc_auc_fig, roc_auc_ax = plt.subplots(figsize=(14, 10))

# Plot chance diagonal
roc_auc_ax.plot([0, 1], [0, 1],
                linestyle='--',
                linewidth=2,
                color='red',
                label='Chance',
                alpha=0.8)

#########
# Train #
#########

# Collect values required to plot the mean ROC curve across folds
true_positive_rates = []
auc_scores = []
fpr_values = np.linspace(0, 1, 100)

# Plot each cross-validation fold's ROC curve
for i, (train, test) in enumerate(cv_splits):
    classifier.fit(X_train.iloc[train], asd_diagnosis_train.iloc[train])
    curve_plot = plot_roc_curve(classifier,
                                X_train.iloc[test],
                                asd_diagnosis_train.iloc[test],
                                name=f"ROC fold #{i}",
                                alpha=0.25,
                                linewidth=1,
                                ax=roc_auc_ax)
    # TPR interpolation
    interp_tpr = np.interp(fpr_values, curve_plot.fpr, curve_plot.tpr, left=0, right=1)
    true_positive_rates.append(interp_tpr)
    # Collect AUC score
    auc_scores.append(curve_plot.roc_auc)

# Calculate AUC mean and STD over folds
mean_tpr = np.mean(true_positive_rates, axis=0)
mean_auc = auc(fpr_values, mean_tpr)
std_auc = np.std(auc_scores)

# Plot mean ROC curve across folds
mean_roc_label = f"Mean Train ROC (AUC = {mean_auc:.2f} $\pm$ {std_auc:.2f})"
roc_auc_ax.plot(fpr_values,
                mean_tpr,
                color="blue",
                label=mean_roc_label,
                alpha=0.6)

# Plot STD across folds
std_tpr = np.std(true_positive_rates, axis=0)
tprs_upper = np.minimum(mean_tpr + std_tpr, 1)
tprs_lower = np.maximum(mean_tpr - std_tpr, 0)
roc_auc_ax.fill_between(fpr_values,
                        tprs_lower,
                        tprs_upper,
                        color='grey',
                        alpha=0.2,
                        label=r'$\pm$ 1 STD')

########
# Test #
########

_ = plot_roc_curve(logistic_model,
               X_test,
               asd_diagnosis_test,
               name="Test ROC",
               color="green",
               ax=roc_auc_ax)

/opt/hostedtoolcache/Python/3.7.12/x64/lib/python3.7/site-packages/sklearn/utils/deprecation.py:87: FutureWarning: Function plot_roc_curve is deprecated; Function `plot_roc_curve` is deprecated in 1.0 and will be removed in 1.2. Use one of the class methods: RocCurveDisplay.from_predictions or RocCurveDisplay.from_estimator.
  warnings.warn(msg, category=FutureWarning)
/opt/hostedtoolcache/Python/3.7.12/x64/lib/python3.7/site-packages/sklearn/utils/deprecation.py:87: FutureWarning: Function plot_roc_curve is deprecated; Function `plot_roc_curve` is deprecated in 1.0 and will be removed in 1.2. Use one of the class methods: RocCurveDisplay.from_predictions or RocCurveDisplay.from_estimator.
  warnings.warn(msg, category=FutureWarning)

/opt/hostedtoolcache/Python/3.7.12/x64/lib/python3.7/site-packages/sklearn/utils/deprecation.py:87: FutureWarning: Function plot_roc_curve is deprecated; Function `plot_roc_curve` is deprecated in 1.0 and will be removed in 1.2. Use one of the class methods: RocCurveDisplay.from_predictions or RocCurveDisplay.from_estimator.
  warnings.warn(msg, category=FutureWarning)

/opt/hostedtoolcache/Python/3.7.12/x64/lib/python3.7/site-packages/sklearn/utils/deprecation.py:87: FutureWarning: Function plot_roc_curve is deprecated; Function `plot_roc_curve` is deprecated in 1.0 and will be removed in 1.2. Use one of the class methods: RocCurveDisplay.from_predictions or RocCurveDisplay.from_estimator.
  warnings.warn(msg, category=FutureWarning)
/opt/hostedtoolcache/Python/3.7.12/x64/lib/python3.7/site-packages/sklearn/utils/deprecation.py:87: FutureWarning: Function plot_roc_curve is deprecated; Function `plot_roc_curve` is deprecated in 1.0 and will be removed in 1.2. Use one of the class methods: RocCurveDisplay.from_predictions or RocCurveDisplay.from_estimator.
  warnings.warn(msg, category=FutureWarning)

/opt/hostedtoolcache/Python/3.7.12/x64/lib/python3.7/site-packages/sklearn/utils/deprecation.py:87: FutureWarning: Function plot_roc_curve is deprecated; Function `plot_roc_curve` is deprecated in 1.0 and will be removed in 1.2. Use one of the class methods: RocCurveDisplay.from_predictions or RocCurveDisplay.from_estimator.
  warnings.warn(msg, category=FutureWarning)

Coefficients¶

coefficient_values = parse_coefficient_values(X, logistic_model.coef_.ravel())
for measurement in MEASUREMENT_DICT.values():
    plot_coefficient_values(coefficient_values, measurement)

Machine Learning for Neuroscience

Exercise VI: Revisiting Linear and Logistic Regression¶

Set up¶

General Inspection¶

Feature Matrix¶

Scaling¶

Target Variables¶

Scaling¶

Train/Test Split¶

Predicting Age¶

Model Creation¶

Model Application¶

Model Evaluation¶

Score¶

Model Score by \(\alpha\)¶

Predicted Values¶

Test \(R^2\)¶

Test MSE (Mean Squared Prediction Error)¶

Coefficients¶

Predicting ASD Diagnosis¶

Model Creation¶

Model Application¶

Model Evaluation¶

Confusion Matrix¶

Classification Report¶

ROC-AUC Curve¶

Coefficients¶